伴随矩阵（adjugate matrix）是一个矩阵的代数余子式矩阵的转置。它在计算矩阵的逆矩阵时非常重要，特别是在通过行列式求逆矩阵的过程中。伴随矩阵的定义基于矩阵的代数余子式。

伴随矩阵的定义

给定一个 n×nn \times nn×n 的矩阵 AAA，其伴随矩阵 adj(A)\text{adj}(A)adj(A) 是如下构造的：

对于矩阵 AAA 的每个元素 aija_{ij}aij​，删除该元素所在的行和列，得到一个子矩阵（称为余子矩阵）。计算该余子矩阵的行列式，得到元素 aija_{ij}aij​ 的余子式 MijM_{ij}Mij​。代数余子式 CijC_{ij}Cij​ 是余子式乘以 (−1)i+j(-1)^{i+j}(−1)i+j。将所有代数余子式组成的矩阵进行转置，得到矩阵 AAA 的伴随矩阵。

adj(A)=transpose((C11C12⋯C1nC21C22⋯C2n⋮⋮⋱⋮Cn1Cn2⋯Cnn))

\text{adj}(A) = \text{transpose} \left( \begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \end{pmatrix} \right)

adj(A)=transpose​​C11​C21​⋮Cn1​​C12​C22​⋮Cn2​​⋯⋯⋱⋯​C1n​C2n​⋮Cnn​​​​

伴随矩阵的用途

伴随矩阵常用于计算矩阵的逆矩阵。如果矩阵 AAA 是可逆矩阵，则其逆矩阵可以表示为：

A−1=1det⁡(A)⋅adj(A)

A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)

A−1=det(A)1​⋅adj(A)

其中，det⁡(A)\det(A)det(A) 是矩阵 AAA 的行列式。

例子：计算 3×3 矩阵的伴随矩阵

给定矩阵 AAA：

A=(123014560)

A = \begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

0 & 1 & 4 \\

5 & 6 & 0

\end{pmatrix}

A=​105​216​340​​

第一步：计算每个元素的代数余子式

元素 a11a_{11}a11​ 的代数余子式：

去掉矩阵 AAA 的第1行和第1列，剩下的子矩阵为：

(1460)

\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}

(16​40​)

其行列式为 1×0−4×6=−241 \times 0 - 4 \times 6 = -241×0−4×6=−24。

代数余子式为 (−1)1+1×(−24)=−24(-1)^{1+1} \times (-24) = -24(−1)1+1×(−24)=−24。

元素 a12a_{12}a12​ 的代数余子式：

去掉矩阵 AAA 的第1行和第2列，剩下的子矩阵为：

(0450)

\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}

(05​40​)

其行列式为 0×0−4×5=−200 \times 0 - 4 \times 5 = -200×0−4×5=−20。

代数余子式为 (−1)1+2×(−20)=20(-1)^{1+2} \times (-20) = 20(−1)1+2×(−20)=20。

元素 a13a_{13}a13​ 的代数余子式：

去掉矩阵 AAA 的第1行和第3列，剩下的子矩阵为：

(0156)

\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}

(05​16​)

其行列式为 0×6−1×5=−50 \times 6 - 1 \times 5 = -50×6−1×5=−5。

代数余子式为 (−1)1+3×(−5)=−5(-1)^{1+3} \times (-5) = -5(−1)1+3×(−5)=−5。

元素 a21a_{21}a21​ 的代数余子式：

去掉矩阵 AAA 的第2行和第1列，剩下的子矩阵为：

(2360)

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}

(26​30​)

其行列式为 2×0−3×6=−182 \times 0 - 3 \times 6 = -182×0−3×6=−18。

代数余子式为 (−1)2+1×(−18)=18(-1)^{2+1} \times (-18) = 18(−1)2+1×(−18)=18。

元素 a22a_{22}a22​ 的代数余子式：

去掉矩阵 AAA 的第2行和第2列，剩下的子矩阵为：

(1350)

\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}

(15​30​)

其行列式为 1×0−3×5=−151 \times 0 - 3 \times 5 = -151×0−3×5=−15。

代数余子式为 (−1)2+2×(−15)=−15(-1)^{2+2} \times (-15) = -15(−1)2+2×(−15)=−15。

元素 a23a_{23}a23​ 的代数余子式：

去掉矩阵 AAA 的第2行和第3列，剩下的子矩阵为：

(1256)

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}

(15​26​)

其行列式为 1×6−2×5=6−10=−41 \times 6 - 2 \times 5 = 6 - 10 = -41×6−2×5=6−10=−4。

代数余子式为 (−1)2+3×(−4)=4(-1)^{2+3} \times (-4) = 4(−1)2+3×(−4)=4。

元素 a31a_{31}a31​ 的代数余子式：

去掉矩阵 AAA 的第3行和第1列，剩下的子矩阵为：

(2314)

\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}

(21​34​)

其行列式为 2×4−3×1=8−3=52 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 52×4−3×1=8−3=5。

代数余子式为 (−1)3+1×5=5(-1)^{3+1} \times 5 = 5(−1)3+1×5=5。

元素 a32a_{32}a32​ 的代数余子式：

去掉矩阵 AAA 的第3行和第2列，剩下的子矩阵为：

(1304)

\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}

(10​34​)

其行列式为 1×4−3×0=41 \times 4 - 3 \times 0 = 41×4−3×0=4。

代数余子式为 (−1)3+2×4=−4(-1)^{3+2} \times 4 = -4(−1)3+2×4=−4。

元素 a33a_{33}a33​ 的代数余子式：

去掉矩阵 AAA 的第3行和第3列，剩下的子矩阵为：

(1201)

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}

(10​21​)

其行列式为 1×1−2×0=11 \times 1 - 2 \times 0 = 11×1−2×0=1。

代数余子式为 (−1)3+3×1=1(-1)^{3+3} \times 1 = 1(−1)3+3×1=1。

第二步：构造代数余子式矩阵

将所有代数余子式排列成矩阵：

(−2420−518−1545−41)

\begin{pmatrix}

-24 & 20 & -5 \\

18 & -15 & 4 \\

5 & -4 & 1

\end{pmatrix}

​−24185​20−15−4​−541​​

第三步：转置代数余子式矩阵，得到伴随矩阵

转置代数余子式矩阵，得到伴随矩阵 adj(A)\text{adj}(A)adj(A)：

adj(A)=(−2418520−15−4−541)

\text{adj}(A) = \begin{pmatrix}

-24 & 18 & 5 \\

20 & -15 & -4 \\

-5 & 4 & 1

\end{pmatrix}

adj(A)=​−2420−5​18−154​5−41​​

总结

伴随矩阵的计算步骤是：

计算每个元素的代数余子式。构造代数余子式矩阵。将代数余子式矩阵转置，得到伴随矩阵。

伴随矩阵在计算矩阵的逆矩阵时至关重要，尤其在通过行列式方法求逆矩阵的过程中。